Cours Mathématiques BCG

Introduction aux Matrices et Déterminants

Les matrices et les déterminants sont des concepts fondamentaux en mathématiques, en particulier dans l'algèbre linéaire. Elles trouvent des applications dans de nombreux domaines, tels que les systèmes d'équations linéaires, les transformations géométriques, et même en physique.

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1. Matrices et premières opérations

1.1 Matrices : Définition et Types

Une matrice est une disposition rectangulaire de nombres, disposés en lignes et en colonnes. Par exemple, une matrice de taille $2 \times 3$ a 2 lignes et 3 colonnes. On utilise les matrices pour représenter des systèmes linéaires et pour effectuer des opérations complexes, telles que la multiplication et l'inversion.

Les matrices sont souvent classées par leur taille et leur structure. Par exemple, une matrice carrée est une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes. Il existe aussi des matrices particulières, telles que la matrice identité, qui joue un rôle central dans les calculs matriciels.

1.2 Opérations sur les Matrices

Les matrices peuvent être manipulées à l'aide de plusieurs opérations :

• Addition de matrices : On ajoute deux matrices de même taille en additionnant leurs éléments correspondants.
• Multiplication par un scalaire : Multiplier une matrice par un nombre réel (ou scalaire) revient à multiplier chaque élément de la matrice par ce scalaire.
• Transposition : La transposition d'une matrice $A$ consiste à interchanger ses lignes et ses colonnes pour obtenir une nouvelle matrice $A^T$.

1.3 Multiplication de Matrices

La multiplication de matrices est une opération où l'élément de la $i$-ème ligne et $j$-ème colonne de la matrice résultante est obtenu en effectuant le produit scalaire de la $i$-ème ligne de la première matrice avec la $j$-ème colonne de la seconde matrice. Cette opération est non commutative, ce qui signifie que l'ordre de multiplication des matrices importe.

1.4 Déterminants : Définition et Calcul

Le déterminant est un nombre associé à une matrice carrée, et il offre des informations importantes sur la matrice. Par exemple, un déterminant nul indique que la matrice est singulière et que les lignes ou colonnes sont linéairement dépendantes.

• Pour une matrice $2 \times 2$, le déterminant est calculé par la formule : $$\text{det}(A) = ad - bc$$ où $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.
• Pour une matrice $3 \times 3$, le calcul est plus complexe et fait intervenir les mineurs et cofacteurs.

Les propriétés des déterminants sont essentielles pour simplifier le calcul de certains systèmes et pour étudier les transformations linéaires.

2. Applications des Matrices et Déterminants

Les matrices et les déterminants sont utilisés pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, que ce soit par la méthode de Gauss, la méthode de Cramer, ou l'utilisation des matrices inverses. Ces outils mathématiques sont utilisés dans les sciences physiques, l'économie, l'ingénierie et dans de nombreux autres domaines.